序
今天心血来潮,来学习一下fhq treap(其实原因是本校有个OIer名叫fh,当然不是我)
简介
fhq treap 学名好像是“非旋转式treap及可持久化”。。。听上去怪怪的。其实就是可以代替LCT、BST等等码量很高的东东。
定义
1 | struct node{ |
操作
最基本的操作
其实都不应该叫做操作。应该类似于维护的。。。1
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10void update(int x){
tr[x].sz=tr[tr[x].son[0]].sz+tr[tr[x].son[1]].sz+1;//更新节点个数,将左右子树节点个数+本节点(不要忘了。。QWQ)
}
int new_node(int v){
tot++;//总节点编号++
tr[tot].sz=1;//默认为1(叶子)
tr[tot].val=v;//权值赋值
tr[tot].rand_val=rand();//随机rand权值
return tot;//返回节点编号
}
基本操作
其实就三个啦。。。。
操作1:merge(默认x<y)
merge的操作其实就是把两棵树合并成一棵(真好!)。使用递归。按照rand出来的权值进行判断是左子树还是右子树。1
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12int merge(int x,int y){
if(!x||!y) return x+y;//如果有一棵树是空的,那么就可以直接退出
if(tr[x].rand_val<tr[y].rand_val){//按照rand的权值确定左右子树
tr[x].son[1]=merge(tr[x].son[1],y);//将x的右儿子中merge树y
update(x);//更新节点数
return x;//返回
}else{//同理
tr[y].son[0]=merge(x,tr[y].son[0]);
update(y);
return y;
}
}
操作2:split
split的操作其实就是把一棵树拆成两棵子树。当然有两种拆法,一种是按照权值,还有一种是按照节点数分。
这里的操作2是按照权值分,操作3按照节点数分。1
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8void split(int now,int k,int &x,int &y){//以权值k来分now树,成x,y
if(!now) x=y=0;//如果当前操作为空树,返回空子树
else{
if(tr[now].val<=k) x=now,split(tr[now].son[1],k,tr[now].son[1],y);//如果小于或等于权值k,将左子树改为当前的树,并将当前的树的右子树继续往下分(把所有小于等于权值k的节点划分到一棵树当中)
else y=now,split(tr[now].son[0],k,x,tr[now].son[0]);//同理
update(now);//注意更新节点数
}
}
操作3:rank
在操作2中已经说明过了,是按照节点数分(有点像其他数据结构中查找第k名的操作)1
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12int rank(int now,int k){//在now树中,查找以权值排序的第k个节点
while(1){
if(k<=tr[tr[now].son[0]].sz) now=tr[now].son[0];//如果k在左子树当中那就更新
else{
if(k==tr[tr[now].son[0]].sz+1) return now;//正好找到
else{//如果k在右子树当中,注意k还要减去左子树的个数+本节点
k-=tr[tr[now].son[0]].sz+1;
now=tr[now].son[1];
}
}
}
}
普通的操作
拿一道例题来讲吧。。。
传送门
其实操作并没有高级多少(主要是想象力。。。)
操作1:插入$x$数
1 | split(root,a,x,y); |
这个比较好理解,我们先把树分为x,y两部分,然后把新的节点a看做是一棵树,先与x合并,合并完之后将合并的整体与y合并
操作2:删除$x$数(若有多个相同的数,因只删除一个)
1 | split(root,a,x,z); |
首先我们把树分为x和z两部分
那么x树中的最大权值为a
再把x分为x和y两部分。
此时x中的最大权值为a-1,且权值为a的节点一定是y的根节点。
然后我们可以无视y的根节点,直接把y的左右孩子合并起来,这样就成功的删除了根节点,
最后再把x,y,z合并起来就好
操作3:查询$x$数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数+1。若有多个相同的数,因输出最小的排名)
1 | split(root,a-1,x,y); |
我们首先按照a-1的权值把树分开。
那么x树中最大的应该是a-1。
那么a的排名就是siz[x]+1
操作4:查询排名为$x$的数
//rank函数不是白吃饭的1
printf("%d\n",tr[rank(root,a)].val);
不解释了QWQ
操作5:求$x$的前驱(前驱定义为小于$x$,且最大的数)
//rank函数真的不是白吃饭的1
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3split(root,a-1,x,y);
printf("%d\n",tr[rank(x,tr[x].sz)].val);
root=merge(x,y);
因为要小于a,那么我们按照a-1的权值划分,
x中最大的一定是<=a-1的,
所以我们直接输出x中最大的数就好,
(这里有一个小技巧,因为sz储存的是节点的数目,然后根据二叉查找树的性质,编号最大的就是值最大的)
操作6:求$x$的后继(后继定义为大于$x$,且最小的数)
//rank函数真的不是白吃饭的1
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3split(root,a,x,y);
printf("%d\n",tr[rank(y,1)].val);
root=merge(x,y);
因为要大于a,那么我们按照a的权值划分(取子树y),
y中最小的一定是>a的,
所以我们直接输出y中最小的数就好,
(像操作5一样这里有一个小技巧,因为sz储存的是节点的数目,然后根据二叉查找树的性质,编号最小的就是值最小的)
完整的代码:
1 | #include<bits/stdc++.h> |
写在最后
当然,fhqtreap的应用不仅限于这些,还有许多,还待我继续学习。。。